きょうは３回目の大学の講義の日でした。

今回は正負の数の加減法についてやりました。

正負の数の加減法は何と言っても「赤と黒のゲーム」です。
現在は教科書にも出ている位です。
人数は４人くらいが丁度いいです。
トランプで行うゲームです。
人数がｎ人なら１からｎまでのカードとジョーカー１枚の４ｎ＋１枚で行います。
４人なら１から４までですので17枚を使って行います。
マークは赤と黒があります。
私は教科書と違って赤をプラス、黒をマイナスとしています。
それは赤の方は嬉しい感じがし、黒の方が悲しい感じがするからです。
例えば赤のカードの３なら＋３点、黒のカードの４なら−２点、ジョーカーは０点です。
後はババ抜きの要領でゲームを行います。
親を決め、親になった人は自分からカードを配ります。
したがって親は５枚、その他の人は４枚ずつカードを持ちます。
自分の持ち札の得点を計算します。
いよいよゲーム開始です。
親の左隣の人が親のカードを引きます。
ババ抜きの要領でつぎつぎに左隣の人がカードを引いていきます。
　　　

各自持ち点が最高だと思ったらストップをかけます。
それぞれの人のカードの点数を聞いて正しければそのまま得点表に書き込み順位をつけます。
さらに全員の得点の合計をします。
もし最高点でなかったらビリの人と得点を交換します。
この調子でゲームをしていきます。
今回は５ゲーム終わった所で終了してもらいました。
その後計算するのにどんな工夫をしたかを聞きました。
カードを引いたときと引かれたときで赤のカードの場合と黒のカードの場合、どう思ったかを聞きました。
つまり黒のカードを引かれたとき「うれしかった」つまり「得点が増える」ことを意識させました。
各回の合計点が０になることを確認しその理由も確認しました。
順位の付け方についても聞きました。
授業ではここまでが時間です。

つぎの時間またゲームをやるかを聞きます。
すると絶対にやりたいと言ってきます。
そこでルールを改定します。
前の時間で赤ばかりつまりマイナス点ばかり出ていた子どもがいます。
そこでビリストップを追加することを告げます。
もちろん普通のストップもかけられます。
もしビリストップをかけて本当にビリなら革命です。
つまり全員の＋マイナスを入れ替えます。
−５の人は＋５に、＋３の人は−３になります。
もしビリ出なかったらそのままの得点にします。
これで１時間たっぷりゲームをします。

つぎの時間またゲームをしたいか聞きます。
もちろんやりたいと言ってきます。
そこで今度もルールを改定することにします。
そして難しくなるけどそれでもやりたいかを聞きます。
もちろんやりたいと言ってきます。
今度は最初に得点を計算したらカードは伏せてしまします。
ゲームが終了するまで見ては行けません。
その時の得点はメモしておきます。
ただしカードを引く人と引かれる人はそのカードを見て何のカードかを確認します。
そしたらそのカードは伏せておきます。
その時の得点をメモします。
と言うことでカードは伏せたままゲームをしていきます。
これを１時間たっぷりやります。
　　　
本当に大学生も夢中になってゲームを楽しんでいました。

これで正負の数の加減法はバッチリです。
つぎの時間は黒のカードを引かれると何故数ぶん得点が増えるかをみんなで考えてもらいます。
色々な意見が出てきますので、どれが分かりやすかったかを聞いてまとめます。

きょうは２回目の大学の講義の日でした。

今回は分数についてやりました。

1/2+1/3=3/6+2/6=5/6
2/3÷4/5=2×４/3×5=8/15

この様に分数のたし算とかけ算では計算の仕方が全く違います。
どうしてなのかについて考えてもらいました。
　　　
右のお皿にのっている白の碁石は左は1/2で右は1/3です。
たし算は合わせることなので結局白の碁石は1+1/2+3=2/5になります。
これならかけ算と同じようにできて都合がいいですね。
何故これではだめで通分しなければならないかについて考えてもらいました。
　　　


今回も各自で考えてから班で話し合い班内でまとまった意見を黒板に書いて説明をしてもらいました。

言い方は色々ありましたが、「元の大きさが違うので揃えなくてはいけない」と言う方向になりました。
分数には割合を表す分数と量を表す分数があり、計算法則は量をもとに出来ていることを話しました。

その後分数のかけ算がどうして分子同士分母同士かければいいのかについてやりました。
最後に分数を整数で割るところまでやり、分数を分数で割るは課題にしました。

きょうは今年度最初の大学の講義の日でした。
　　　

まずは自己紹介から始めました。
名前の対称性の話しをしました。

どの様な内容の講義かについて話しをしました。
アクティブラーニングについても話しをし、講義の中でも実際に体験してもらうつもりであることを伝えました。
そのためにまずは班を作ってもらいました。

１５回の講義の内容について示しました。
講義の感想や課題の提出はネットで行うことについて話しをしました。

最初のアクティブラーニングということで「不思議な計算」についてやりました。
初めの数は１〜９のどの数でもいいです。２番目の数は５とします。
まずこの２つの数字をたします。
２つ目の数と答えた数とをたします。
と言う風に前の数とたした数をたしていきます。
ただし、十を超えたら１の位だけにします。
17番目まで計算します。
すると不思議なことが起こります。

一覧を見せて気がついた事を考えてもらい、班の中で出し合ってもらいました。
それを黒板に書き出してもらいました。
様々な内容が出ました。

そこでどうしてそうなるかについて示すために文字を使って確かめました。

つぎに２番目の数を１〜９にしたらどうなるかについてやりました。
そして２番目の数と17番目の数との関係を考えてもらいました。

それを検証してもらうのでやはり文字を使って確かめました。
　　　

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の13回目の最終回でした。
２名が13分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学３年「三平方の定理」のところを行いました。
　　　
プリントを用意して実際に直角三角形の辺の長さを測らせていました。

二人目は
高校数学Ⅰ「ド・モルガンの法則」のところを行いました。
　　　
プリントが用意されていて実際にベン図に書き込ませて同じになることを確認させていました。

終了後検討会をしました。

その後「アクティブラーニング」について話しをしました。
さらに無理数のところを私がその実践をやって見せました。

正方形の面積を求めさせ、その求め方について聞き、様々な考え方があることをやりました。
そして面積２の正方形の一辺の長さがどれ位になるかについてやりました。
実際に定規で測ってもらい、1.4とか1.5とかが出ました。
そこで電卓を使って調べてもらうことにしました。
電卓で二乗をする方法について聞きましたが答えられませんでしたので私の方で教えました。
一辺の長さをaとすると
1.4が分かりました。
つぎに小数第二位がどうなるかについて調べることにしました。
出来るだけ早く見つける方法について尋ねましたが、やはり知りませんでした。
そこで２分法について話しをしました。
ということで小数第五位まで求めてもらいました。
そこで最後に「このことからこの数は無限に続く数だと言えるのですがどうしてですか」と質問をし班で反し合ってもらいました。
２つの班で意見が出たようなので聞きました。
最初の意見はおおよそよかったのですがあまりはっきりしていませんでした。
つぎの班の意見はおおよそ的を得た意見でした。
例えば小数第二位は1.40…1.40…だとしてもどこか0でない数がでてきます。
つまりその数は1〜9迄の数ですね。
二乗して０になる数は０しかありませんから終わることがないことがわかります。
と言うことでまとまりました。

これで半年間の講義は終わりました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の12回目でした。
４名が13分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学２年「式の加法と減法」のところを行いました。
　　　
教具を使ったりプリントを用意したりしていました。

二人目は
中学３年「乗法公式」のところを行いました。
　　　
面積図を使ってやっていました。

三人目は
中学３年「式の乗法・除法」のところを行いました。
　　　
上手く面積図の教具を使っていました。

四人目は
高校数学Ⅰ「タスキがけ法による因数分解」のところを行いました。
　　　
タスキがけについて色々の場合を考えさせ試行錯誤させていた。

終了後検討会をしました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の11回目でした。
４名が13分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学２年「平行線と角」のところを行いました。
　　　
添付物を使ってやっていましたが、少し復習に時間をかけすぎていました。

二人目は
中学３年「式の展開」のところを行いました。
　　　
黒板用の教具を使ってやっていました。

三人目は
中学２年「多角形の角」のところを行いました。
　　　
考える時間がたっぷりあり色々な考えを発表させていた。

四人目は
高校数学Ⅰ「２次関数の最大・最小」のところを行いました。
　　　
模造紙に大きく図が書いてありよかったです。

終了後検討会をしました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の10回目でした。
４名が13分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「等式の性質」のところを行いました。
　　　
もう少し生徒に考えさせ言わせる工夫があるとよかったです。

二人目は
中学３年「平方根」のところを行いました。
　　　
黒板に書く作図に時間をかけすぎて時間がたりなかったです。

三人目は
高校数Ⅰ「２次方程式と２次不等式」のところを行いました。
　　　
一次不等式に時間をかけすぎて２次不等式の時間がたりなかったです。

四人目は
高校数学Ⅰ「三角形の面積」のところを行いました。
　　　
模造紙に大きく図が書いてあり分かりやすかったでした。

終了後検討会をしました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の9回目でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「円とおうぎ形」のところを行いました。
　　　
復習等に時間をかけすぎていました。

二人目は
中学３年「三平方の定理」のところを行いました。
　　　
プリントを用意していましたが、答を書くスペースがなくて残念でした。

三人目は
高校数Ⅱ「２曲線間の面積」のところを行いました。
　　　
教具をうまく使っていました。

終了後検討会をしました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の８回目でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学３年「円周角の定理」のところを行いました。
　　　
実際に円周角と中心角を測らせていました。

二人目は
高校数Ⅱ「導関数」のところを行いました。
　　　
微分係数の計算が中心でした。

三人目は
中学１年「方程式の性質」のところを行いました。
　　　
天秤を使って説明していました。

終了後検討会をしました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の７回目でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「等式の性質」のところを行いました。
　　　写真撮り忘れました。ごめんなさい。
説明と板書でした。

二人目は
中学３年「三平方の定理」のところを行いました。
　　　
正方形の面積を求めることが中心でした。

三人目は
高校数Ⅱ「対数とその性質」のところを行いました。
　　　
バイバインでどら焼きが二倍になっていくことから始めました。

終了後検討会をしました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の６回目でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学２年「多角形の角」のところを行いました。
　　　
内角の和をどうやって求めるかについてやっていました。

二人目は
高校数Ⅰ「２次関数のグラフ」のところを行いました。
　　　
教具を使って説明していました。

三人目は
高校数Ⅱ「三角関数の性質」のところを行いました。
　　　
生徒用の教具も用意していました。

終了後検討会をしました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の５回目でした。
４名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「立体の表面積」のところを行いました。
　　　
プリントが用意されていました。また実際に円すいを作らせる準備がされていました。

二人目は
高校数Ⅰ「集合」のところを行いました。
　　　
オイラー図の教具が準備されていました。

三人目は
高校数Ⅱ「因数定理、剰余の定理」のところを行いました。
　　
プリントが用意されていました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の３回目でした。
４名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「比例」のところを行いました。
　　　
プリントが用意されていました。黒板用があるとよかったです。

二人目は
中学３年「円周角の定理」のところを行いました。
　　　
教具を使っていてよかったです。

三人目は
中学２年「多角形の角」のところを行いました。
　　　
プリントを用意していてうまく使っていました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の３回目でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「等式と不等式」のところを行いました。
　　　
特に教具やプリント等がなく説明と話し中心でした。

二人目は
中学２年「直角三角形の合同」の所を行いました。
　　　
実際に班ごとに直角三角形を配り考えさせていました。

三人目は
高校数学Ａ「最大公約数と最小公倍数」の所を行いました。
　　　
プリントを配ってそれにしたがって進めていました。

最後に検討会を行いました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の２回目でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「等式の性質」のところを行いました。
教具のてんびんを使って生徒に質問しながら行っていました。
　　　


二人目は
中学３年「平方根」のところを行いました。
面積が５の正方形を実際に作らせ、その一辺の長さがどうなるかについてやっていました。
　　　


三人目は
高校数学Ⅰ「２次方程式の解」のところを行いました。
中学の復習が中心になっていました。
　　　


最後に検討会を行いました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回からは「学生による模擬授業」でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「立体の表面積」のところを行いました。
教具をうまく使っていましたが、残念ながら一番やりたかったところが時間がなくて少ししか出来ませんでした。
　　　


二人目は
高校数学A「三角形の重心」のところを行いました。
各班に三角形を配り指でその重心を探させ、頂点から重心を定規で結ばせていました。
長さを測ってもらい中線等になっている事を発見させていました。
　　　


三人目は
高校数学Ⅰ「集合の要素の個数」のところを行いました。
教具のベン図をうまく使ってA∪Bの個数について考えさせていました。
　　　


最後に検討会を行いました。

きょうは大学の講義の最終回でした。

今回のテーマは「学生による教具発表会」でした。

一人欠席者がいたので31名が紹介をしてくれました。
例年になくすぐにでも使えそうな教具もありました。
ほとんどの学生がいいと評価していたのはピタゴラスの定理の教具でした。
２つの正方形に入っているビー玉が残りの正方形に入っていく物でした。
写真がうまく撮れなくて申しわけありませんでした。
いくつか紹介します。
　　　
　　　　
　　　　
　　　　

きょうは大学の講義の12回目でした。

今回のテーマは「三角関数」についてでした。

グルグル回る物をあげてもらいました。
その中で観覧車ということで、観覧車のオルゴールを見せました。
　　　
このような周期的な現象を表す関数であること。
三角比は図形の相似を利用して長さや角度を調べるのだから三角比と三角関数は違うことをきちんと押さえる必要があることを話しました。
たまたま三角比の値を使っているので紛らわしいです。
また、１当たり量で指導した方がはるかに分かりやすいです。
そんなデータも紹介しました。
様々な公式があるので、それを理解しやすくする様々な教具を紹介しました。

きょうは大学の講義の11回目でした。

今回のテーマは「指数対数関数」についてでした。

１から９までの数字３つを使ってできるだけ大きな数を考えてもらいました。
もちろん重複してもいいです。
９９９，９９^９、９^９９、(９^９)^９
９の９乗の９乗は物凄い数になります。

細菌の増殖で一様倍変化について考えてもらいました。
そして指数関数が使われている例としてギターのフレッドの間隔について調べました。
　　　　

ほとんど長さが半音上がる毎に0.94倍になっていることが分かりました。
つまり一様倍です。
半音上がることの倍率をrとして１オクターブ上がると長さが半分になります。
その間12音がありますので
ｒ^１２＝1/2
したがってｔ≒0.94
となるわけです。

音楽と数学が関係しているんですね。

きょうは大学の講義の10回目でした。

今回のテーマは「数列」についてでした。

数列の最初はうさぎの増え方から入ります。
これはフィボナッチ数列になります。
そこで自然界でフィボナって数列になる現象の紹介をしました。
一つは松ぼっくりの渦がフィボナッチ数列の８と13や５と８になっている。
あるいはひまわりの渦は34と55になっています。
１から100までの和を簡単に求める方法を考えてもらいました。
４種類ほど出ました。
その中で汎用性のあるものについて考えてもらいました。
それが等差数列の和の式につながります。
そのあとはハノイの塔パズルをやってもらいました。
６段の場合についてやりました。
　　　

最低回数だったのは63回でした。
本当にそうなるのかについてやりました。
それを考えるのに様々な考えで求められることをしました。
このパズルの素晴らしさです。
　　　

きょうは大学の講義の９回目でした。

今回のテーマは「三角比」についてでした。

どうも三角関数は三角比の拡張のように思っているようです。
三角関数は周期的な現象を扱う関数でたまたま三角比の値を使っている分けです。
三角比は相似比を扱った図形の問題です。
また、教科書は二辺の比として定義していますが、その後は単位円で扱っています。
静岡大学で試みた結果によりますと、二辺の比として指導したクラスと、一当たり量として指導したクラスでは、明らかに理解度も定着度も一当たり量で指導したクラスの方がよかったそうです。
タンジェントは底辺が１のときの高さ
サインは斜辺が１のときの高さ
コサインは斜辺が１のときの底辺
というわけです。
今回はフロッピーディスクのケースと分度器を印刷した紙、五円玉をぶら下げて「カクシリキ」という仰角を測る教具を作ってもらいました。
そして、黒板に貼った目標物の仰角を調べ、高さを求めることをやりました。
　　　
みんなの平均を出せばある程度近い値になりました。

　　　

きょうは大学の講義の８回目でした。

今回のテーマは「解析幾何」についてでした。

どうも教科書は関数と解析幾何を同じように扱っています。
座標の取り方にも気を配る必要があります。
関数ではｘ軸とｙ軸の１は同じ長さである必要はありませんね。
でも解析幾何は必ず同じにしないと形が変わってしまいます。

解析幾何ではぜひ方程式や不等式の領域を使って絵を書かせたいです。
と言うことでまずは座標を取りそれをつなげると絵になる物をやりました。
　　　

つぎに領域のある直線や円などを使って絵を書いてもらいました。
　　　

最後に不等式の領域を使ってその部分に色を塗って絵に仕上げてもらいました。
　　　

あとは自分で絵を考えてそれを方程式にしたり不等式の領域にする課題を出しました。
　　　

きょうは大学の講義の７回目でした。

今回のテーマは「二次方程式」についてでした。

二次方程式の解の公式を導くにはかなり大変です。
またルートに開くとき本来aの正負で分けなくてはならないのに触れないでやっています。
そんなことを解消するのが４a倍法。またの名を「かざぐるま法」です。
　　　　　　　　　　　ｘ^２＋ｐｘ＋ｑ＝０　の場合
　　　　　　　　　　　ｘ^２＋ｐｘ＝ーｑ
４倍して　　　　　　４ｘ^２＋４ｐｘ＝−４ｑ
両辺にｐ^２をたして　４ｘ^２＋４ｐｘ＋ｐ^２＝ｐ^２−４ｑ
　　　　　　　　　　(２ｘ＋ｐ)^２＝ｐ^２−４ｑ
このあとは省略します。
ベキタイルでやると
　　　

　　　　　　　　　　aｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０の　場合は
　　　　　　　　　　aｘ^２＋ｂｘ＝−ｃ
４a倍して　　　　　４a^２ｘ^２＋４aｂｘ＝−４aｃ
両辺にｂ^２をたして　４a^２ｘ^２＋４aｂｘ＋ｂ^２＝ｂ^２−４aｃ
　　　　　　　　　　(２aｘ＋ｂ)^２＝ｂ^２ー４aｃ
このあとは省略します。
ベキタイルでやると
　　　　

きょうは大学の講義の６回目でした。

今回のテーマは「文字式」についてでした。

文字式は文字を扱う中でも一番抽象的で分かりにくい内容です。
そこで式を目で見えるようにしたのがベキタイルです。
中学校の教科書にも付録でついてくるようになりました。

たてもよこも１の正方形は面積は１で、これを１タイル
たて１よこｘの長方形の面積はｘで、これをｘタイル
たてもよこもｘの正方形の面積はｘ^２で、これをｘ^２タイルといいます。

この３つのタイルを使って二次までの式の計算をやります。
かけ算は長方形の面積として求めます。

因数分解は、与えられたタイルを使って長方形に並べ、たてとよこの積にすることでできます。

２ｘ^２＋５ｘ＋３　は　 
で　(ｘ＋１)(２ｘ＋３)

２ｘ^２−５ｘ＋３　は　 
で　(ｘ−１)(２ｘ−３)

２ｘ^２−ｘ−３　　は　 
で　(ｘー１)(２ｘ＋３)

２ｘ^２＋ｘ−３　は　 　
で　(ｘ＋１)(２ｘ−３)

と言う具合です。
これはまさにタスキがけ法につながっていきます。

また、タイルから離れてできるようにするのがつぎの「忍法田の字」です。
例えば　２ｘ_２＋ｘ−３　なら
   
 
工作用紙にホワイトボートシート等を貼り、ホワイトボード用のペンで書いていきます。
違っていたらすぐに消して書き直せます。
とても便利な教具です。

きょうは大学の講義の５回目でした。

今回のテーマは「関数」についてでした。

自動販売機はどんなものを売っているかを班ごとに１つずつ出してもらいました。
仕組みは分からないがお金を入れると品物が出てくることが共通していることを確認しました。
つまり入力と出力です。
つぎに私が作ったブラックボックスを使ってはたらきあてをやりました。
　　　
始めは言葉遊びをしました。
つぎに数字を入力し、数字が出てくる物にして、その働きを考えてもらいました。
その中で一次関数になるものの働きを考えてもらいました。
つぎに二次関数の平行移動についてやりました。
座標変換でやる方法についてやりました。
二次関数は二次の項で形が決まってしまうことを見せる教具を紹介しました。
また、平方完成しないで簡単に軸と頂点を求める方法についてやりました。