きょうはコスモへの出張指導の日でした。

今回は○で△で□な図形ってどんな図形と言うことでした。
参加者は小学４年生１名でした。

まず前から見ると□で上から見ると○な図形を考えてもらいました。
これはつみきにもある円柱ですぐに分かりました。
つぎに前から見ると△で上から見ると○な図形を考えてもらいました。
これもつみきにもある円すいですが、丁度いいのがなかったのですが、円柱の上についているものがありました。
いよいよ「○で△で□な図形ってどんな図」です。
歯磨きのチューブみたいと考えていたようです。

そこで円柱からその図形を作ってもらうことにしました。
その円柱とは大根です。
大根を横から見て△になるように切ってもらいました。
すぐに気がついてつぎのように切ってくれました。
　　　
　　　
　　　
これだと□に曲線が出てきてしまいますね。
曲線が出て来ないものはないのでしょうか。
実はあるんですね。
と言うことでその図形を作ることにしました。
作っている様子です。
　　　
こんなに上手に作ってくれました。
　　　
上から見ると
　　　
前から見ると
　　　
横から見ると確かに線が出ていませんね。
　　　
難しかったけど、楽しそうに作っていました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回は「学生による模擬授業」の２回目でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「等式の性質」のところを行いました。
教具のてんびんを使って生徒に質問しながら行っていました。
　　　


二人目は
中学３年「平方根」のところを行いました。
面積が５の正方形を実際に作らせ、その一辺の長さがどうなるかについてやっていました。
　　　


三人目は
高校数学Ⅰ「２次方程式の解」のところを行いました。
中学の復習が中心になっていました。
　　　


最後に検討会を行いました。

きょうは大学の講義の日でした。

今回からは「学生による模擬授業」でした。
３名が15分間の模擬授業をしました。

一人目は
中学１年「立体の表面積」のところを行いました。
教具をうまく使っていましたが、残念ながら一番やりたかったところが時間がなくて少ししか出来ませんでした。
　　　


二人目は
高校数学A「三角形の重心」のところを行いました。
各班に三角形を配り指でその重心を探させ、頂点から重心を定規で結ばせていました。
長さを測ってもらい中線等になっている事を発見させていました。
　　　


三人目は
高校数学Ⅰ「集合の要素の個数」のところを行いました。
教具のベン図をうまく使ってA∪Bの個数について考えさせていました。
　　　


最後に検討会を行いました。

きょうは数楽教室の日でした。

いつものように社会人の学び直しの方が見えました。
今回はエッシャーに挑戦の続きとピックの定理についてやりました。

エッシャーの図案がガラッと変わりましたが、何とか出来上がりました。
私も書いてみましたので両方を載せます。
　　　　
これをホームページの背景にするとつぎのような絵になります。
　　社会人の作品
　　私の作品

残りの時間はピックの定理についてやりました。
今回は取りあえず４つの四角形の面積と格子点の数を数える事をしました。
続きは次回です。

きょうはコスモへの出張指導の日でした。

今回は算数つみきをやりました。
これは相原昭さんが考案したパズルです。
参加者はいつもの小学生２名でした。

算数つみきは27個の立方体を使い、２個から７個までのをつなげて６種類のつみきにします。
６種類のつみきには色を塗っておきます。
テキストの図形の立方体の個数を数え、それにあうつみきを選んで組み立てます。
できたらテキストに色を塗ります。
初めは１種類だけ、つぎは２種類で出来る図形のようにステップ毎に使うつみきを増やしていきます。

まずはボンドで６種類のつみきを作ってもらいました。
　　　

いよいよテキストにしたがってやってもらいました。
　　　　
　　　

スタッフも含めとても夢中になって取り組んでいました。

きょうは数楽教室の日でした。

いつものように社会人の学び直しの方が見えました。
今回はエッシャーに挑戦についてやりました。

エッシャーの絵がどのように描かれているかを考えてもらいました。
はとめ返しと同様に平面の敷きつめを利用し、今回は正方形のユニットを書き、それを敷きつめると絵が浮き出てくるものにしました。
作った正方形の図案をスキャナで読みとり、それをホームページの背景にするときれいに絵が浮き出てきます。
やすらぎの森のホームページには中学生の作品がありますので見てください。
下絵を描いているところです。
　　　

今回は最後まで描けなかったので次回に持ち越しです。

きょうはコスモへの出張指導の日でした。

今回はアフィン変換を利用した正四面体の側面に書くと上から見ると絵や字が見えるのをやりました。

残念ながら参加者は１名でした。
あと１名は下絵だけを描いてくれて、それをもとにスタッフが完成してくれました。
　　　　
　　　　
　　　　

きょうは金曜学習室の日なのゆうゆう高円寺東館に行きました。

応援団１名
ＳＳＷ8名
教員１名(私)
参加者9名　男子5名　女子4名
小学生2名
中高生7名

今回は夏休みに宿題を終わらせるということでした。
英語の宿題をやっている中学生。
数学の勉強をしていた高校生がいたのでベキタイルを使って展開と因数分解を指導しました。
小学生の子が5面パズルに挑戦してくれました。その後感想文の宿題をやっていました。
その他の子ども達はチェスをやっているグルーブとおしゃべりをしているグルーブがありました。
　　　

なかなか学習中心とはいかないようです。
同じ場所でやるのはなかなか難しいようです。

きょうは数楽教室の日でした。

いつものように社会人の学び直しの方が見えました。
今回は展開図についてやりました。
ただ直方体等の展開図では面白くないので、車の展開図を書いてそれを実際に作って見ることをしました。
特にフロントガラスとリアガラスは斜めにすることを条件にしました。

まずは見取り図を書いてもらいました。
側面図になってしまいました。
いよいよ車の展開図を書く事になりました。
難しい斜めに部分もきちんとコンパスで長さの移動をしてくれていました。
始め方眼紙に書いてもらい、それをコピーしたもので一度組み立ててもらいました。
一ヶ所違っているヶ所があったので修正をしました。
工作用紙に書き写しました。
ハサミで切った後色を塗ってもらいました。
最後にセロテープでつけて完成させました。
本当はのりしろをつけて貼るつもりでしたが、私が指示するのを忘れてしまいました。
最後にタイヤをつけました。
これが完成した車です。
　　　　

2015年８月10日と11日の二日間東京の明星学園小学校で全国中学校研究集会(数学)が行われました。
参加者は100名を超え大勢の若い教師が集まりました。

初日は「教具作り・おもちゃ箱」、開会行事伊禮三之さんと伊藤潤一さんによる対談「こう創ろう、中学数学」、講座「これで生徒は大喜び」(関数・図形・確率統計・文字)が行われました。
私は「教具作り・おもちゃ箱」に出展しました。
特に「嵐を探せ」は人気がありました。
　　　

二日目は分科会「実践交流会」(関数・図形・確率統計・文字)と上垣渉さんによる記念講演「中学生のための数学史」がありました。
この記念講演もとても素晴らし物でした。

2015年８月２日から４日まで数学教育協議会の第６３回全国研究集会が仙台の東北高校を中心に行われました。

初日は教具展、実践講座、全体交流会が行われました。
私は教具展に出展致しました。

二日目は実践交流分科会が午前と午後の２回にわたって行われました。
夜は全体行事が行われ樋口陽一さんによる「70回目の８月15日を前に憲法を考える」という演題の講演がありました。
とても分かりやすくいい内容でした。
　　　

最終日はAMIサロンが行われました。
ここで私は「中学校の手作り教具」ということで、教具の紹介や使い方だけでなく実際い教具を作ってもらいました。
代入箱、忍法田の字、ルートトランプ、ブラックボックスの４つを作ってもらいました。
また、べきタイルもあとはハサミで切るだけのものをお土産に渡しました。
ブラックボックスは私が材料の１つですが、寸法を間違えて切ってしまって申し訳ないことをしてしまいました。
それでも参加してくださった先生方は大変喜んでくださいました。

きょうは大学の講義の最終回でした。

今回のテーマは「学生による教具発表会」でした。

一人欠席者がいたので31名が紹介をしてくれました。
例年になくすぐにでも使えそうな教具もありました。
ほとんどの学生がいいと評価していたのはピタゴラスの定理の教具でした。
２つの正方形に入っているビー玉が残りの正方形に入っていく物でした。
写真がうまく撮れなくて申しわけありませんでした。
いくつか紹介します。
　　　
　　　　
　　　　
　　　　

きょうは数楽教室の日でした。

いつものように社会人の学び直しの方が見えました。
今回は円周角と接弦定理についてやりました。

同じ弧に立つ円周角は等しいことと接弦定理については、つぎのような教具で確認をしました。
　　　
　　　
　　　
円周角を動かせるようにしたものです。
最後は接弦定理になるものです。
理解できたところでいくつか練習問題をやりました。

きょうは大学の講義の14回目でした。

今回のテーマは「微分」についてでした。
ここでの目標は正方形の折り紙で蓋のない箱を作るとき容積が最大になるのはどんな場合かをもとめることにしました。

一番容積が最大になると思う箱を実際に作ってもらいました。
そしてそれぞれの容積を計算してもらいました。
予想とは違う結果でした。
それは３次関数になるからです。

さて微分の意味を理解してもらうために一円玉の渕を見てもらいました。
１つはルーペです。ただ拡大されただけですね。
つぎに600倍の顕微鏡で見てもらいました。
　　　

するとどうでしょう。
　　　

一円玉の方は光を通さないので真っ暗です。
したがって左右で白と黒に分かれて見えます。
つまり曲線もごく一部分を見ると直線に見えると言うことです。
さらに接線の傾きが分かるセッセンサーという教具を使って調べました。
　　　

これで微分係数が、さらに対応表を作ると導関数が見えてきました。

きょうは大学の講義の13回目でした。

今回のテーマは「積分」についてでした。
積分の目標は放物線ゴマの重心を求めることと考えてやっています。

最初に人参が釣り合うように糸でぶら下げます。
そこで人参をナイフで２つに切りました。
　　　

２つの重さはどうかを聞きました。
ほとんどの学生が騙されて「同じだ」と答えていました。
これはモーメントの話しですから当然太い方が重くなりますね。
つまりシーソーがそのいい例です。
また、積分意味をしっかり理解してもらうにはやはり区分求積法ですね。
やったあとy=x²の０から２までの面積が長方形の面積の三分の一であることを天秤で確かめました。
　　　
一人だけy=1/2x³をやってもらったのでこの写真は四分の一を確かめています。
最後に重心の求め方をやり、それを積分に応用して放物線ゴマの重心を求めることをやりました。

きょうは大学の講義の12回目でした。

今回のテーマは「三角関数」についてでした。

グルグル回る物をあげてもらいました。
その中で観覧車ということで、観覧車のオルゴールを見せました。
　　　
このような周期的な現象を表す関数であること。
三角比は図形の相似を利用して長さや角度を調べるのだから三角比と三角関数は違うことをきちんと押さえる必要があることを話しました。
たまたま三角比の値を使っているので紛らわしいです。
また、１当たり量で指導した方がはるかに分かりやすいです。
そんなデータも紹介しました。
様々な公式があるので、それを理解しやすくする様々な教具を紹介しました。

きょうは大学の講義の11回目でした。

今回のテーマは「指数対数関数」についてでした。

１から９までの数字３つを使ってできるだけ大きな数を考えてもらいました。
もちろん重複してもいいです。
９９９，９９^９、９^９９、(９^９)^９
９の９乗の９乗は物凄い数になります。

細菌の増殖で一様倍変化について考えてもらいました。
そして指数関数が使われている例としてギターのフレッドの間隔について調べました。
　　　　

ほとんど長さが半音上がる毎に0.94倍になっていることが分かりました。
つまり一様倍です。
半音上がることの倍率をrとして１オクターブ上がると長さが半分になります。
その間12音がありますので
ｒ^１２＝1/2
したがってｔ≒0.94
となるわけです。

音楽と数学が関係しているんですね。

きょうは大学の講義の10回目でした。

今回のテーマは「数列」についてでした。

数列の最初はうさぎの増え方から入ります。
これはフィボナッチ数列になります。
そこで自然界でフィボナって数列になる現象の紹介をしました。
一つは松ぼっくりの渦がフィボナッチ数列の８と13や５と８になっている。
あるいはひまわりの渦は34と55になっています。
１から100までの和を簡単に求める方法を考えてもらいました。
４種類ほど出ました。
その中で汎用性のあるものについて考えてもらいました。
それが等差数列の和の式につながります。
そのあとはハノイの塔パズルをやってもらいました。
６段の場合についてやりました。
　　　

最低回数だったのは63回でした。
本当にそうなるのかについてやりました。
それを考えるのに様々な考えで求められることをしました。
このパズルの素晴らしさです。
　　　

きょうは大学の講義の９回目でした。

今回のテーマは「三角比」についてでした。

どうも三角関数は三角比の拡張のように思っているようです。
三角関数は周期的な現象を扱う関数でたまたま三角比の値を使っている分けです。
三角比は相似比を扱った図形の問題です。
また、教科書は二辺の比として定義していますが、その後は単位円で扱っています。
静岡大学で試みた結果によりますと、二辺の比として指導したクラスと、一当たり量として指導したクラスでは、明らかに理解度も定着度も一当たり量で指導したクラスの方がよかったそうです。
タンジェントは底辺が１のときの高さ
サインは斜辺が１のときの高さ
コサインは斜辺が１のときの底辺
というわけです。
今回はフロッピーディスクのケースと分度器を印刷した紙、五円玉をぶら下げて「カクシリキ」という仰角を測る教具を作ってもらいました。
そして、黒板に貼った目標物の仰角を調べ、高さを求めることをやりました。
　　　
みんなの平均を出せばある程度近い値になりました。

　　　

きょうは大学の講義の８回目でした。

今回のテーマは「解析幾何」についてでした。

どうも教科書は関数と解析幾何を同じように扱っています。
座標の取り方にも気を配る必要があります。
関数ではｘ軸とｙ軸の１は同じ長さである必要はありませんね。
でも解析幾何は必ず同じにしないと形が変わってしまいます。

解析幾何ではぜひ方程式や不等式の領域を使って絵を書かせたいです。
と言うことでまずは座標を取りそれをつなげると絵になる物をやりました。
　　　

つぎに領域のある直線や円などを使って絵を書いてもらいました。
　　　

最後に不等式の領域を使ってその部分に色を塗って絵に仕上げてもらいました。
　　　

あとは自分で絵を考えてそれを方程式にしたり不等式の領域にする課題を出しました。
　　　

きょうは大学の講義の７回目でした。

今回のテーマは「二次方程式」についてでした。

二次方程式の解の公式を導くにはかなり大変です。
またルートに開くとき本来aの正負で分けなくてはならないのに触れないでやっています。
そんなことを解消するのが４a倍法。またの名を「かざぐるま法」です。
　　　　　　　　　　　ｘ^２＋ｐｘ＋ｑ＝０　の場合
　　　　　　　　　　　ｘ^２＋ｐｘ＝ーｑ
４倍して　　　　　　４ｘ^２＋４ｐｘ＝−４ｑ
両辺にｐ^２をたして　４ｘ^２＋４ｐｘ＋ｐ^２＝ｐ^２−４ｑ
　　　　　　　　　　(２ｘ＋ｐ)^２＝ｐ^２−４ｑ
このあとは省略します。
ベキタイルでやると
　　　

　　　　　　　　　　aｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０の　場合は
　　　　　　　　　　aｘ^２＋ｂｘ＝−ｃ
４a倍して　　　　　４a^２ｘ^２＋４aｂｘ＝−４aｃ
両辺にｂ^２をたして　４a^２ｘ^２＋４aｂｘ＋ｂ^２＝ｂ^２−４aｃ
　　　　　　　　　　(２aｘ＋ｂ)^２＝ｂ^２ー４aｃ
このあとは省略します。
ベキタイルでやると
　　　　

きょうは大学の講義の６回目でした。

今回のテーマは「文字式」についてでした。

文字式は文字を扱う中でも一番抽象的で分かりにくい内容です。
そこで式を目で見えるようにしたのがベキタイルです。
中学校の教科書にも付録でついてくるようになりました。

たてもよこも１の正方形は面積は１で、これを１タイル
たて１よこｘの長方形の面積はｘで、これをｘタイル
たてもよこもｘの正方形の面積はｘ^２で、これをｘ^２タイルといいます。

この３つのタイルを使って二次までの式の計算をやります。
かけ算は長方形の面積として求めます。

因数分解は、与えられたタイルを使って長方形に並べ、たてとよこの積にすることでできます。

２ｘ^２＋５ｘ＋３　は　 
で　(ｘ＋１)(２ｘ＋３)

２ｘ^２−５ｘ＋３　は　 
で　(ｘ−１)(２ｘ−３)

２ｘ^２−ｘ−３　　は　 
で　(ｘー１)(２ｘ＋３)

２ｘ^２＋ｘ−３　は　 　
で　(ｘ＋１)(２ｘ−３)

と言う具合です。
これはまさにタスキがけ法につながっていきます。

また、タイルから離れてできるようにするのがつぎの「忍法田の字」です。
例えば　２ｘ_２＋ｘ−３　なら
   
 
工作用紙にホワイトボートシート等を貼り、ホワイトボード用のペンで書いていきます。
違っていたらすぐに消して書き直せます。
とても便利な教具です。

きょうはコスモへの出張指導の日でした。

今回は４名が参加してくれました。
トリックカードを作りました。
左右を入れ替えると一つピースがはみ出してしまう物です。
　　　　
こんな感じです。

出来上がった作品
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　

きょうは大学の講義の５回目でした。

今回のテーマは「関数」についてでした。

自動販売機はどんなものを売っているかを班ごとに１つずつ出してもらいました。
仕組みは分からないがお金を入れると品物が出てくることが共通していることを確認しました。
つまり入力と出力です。
つぎに私が作ったブラックボックスを使ってはたらきあてをやりました。
　　　
始めは言葉遊びをしました。
つぎに数字を入力し、数字が出てくる物にして、その働きを考えてもらいました。
その中で一次関数になるものの働きを考えてもらいました。
つぎに二次関数の平行移動についてやりました。
座標変換でやる方法についてやりました。
二次関数は二次の項で形が決まってしまうことを見せる教具を紹介しました。
また、平方完成しないで簡単に軸と頂点を求める方法についてやりました。
　　　

きょうは大学の講義の４回目でした。
休日だというのに今週も休みにならないのです。

今回のテーマは「箱の代数（連立方程式）」についてでした。

チェルシー３箱とミルクキャラメル１箱のセットがあります。
重さを測ったら
　　　
237グラムでした。
それぞれの重さは何グラムか考えてもらいました。
これだけではわからないということでした。
どうして分からないかと聞きました。
分からない重さが２つあるからでした。
つまり１つにしないと分からないと言うことでした。
つぎにチェルシー１箱とミルクキャラメル１箱のセットがあります。
重さを測ったら
　　　
123グラムでした。
この２つの重さからそれぞれの重さが何グラムになるかを考えてもらいました。
最初の方からチェルシー１箱とミルクキャラメル１箱を取ればチェルシー２箱が残ります。
その分軽くなります。
したがって237−123＝114
だからチェルシー１箱は114÷２＝57　つまり57グラム。
するとミルクキャラメルは123−57=66　つまり66グラム。
確かめてみました。
　　　　

このあと重さではなく箱の中に数の書いてあるカードが入っていてその数を求める事と同じであることとして、数当てに発展しました。
係数倍しなければならない場合をさらにやりました。
その後箱をいちいち書くのは面倒なので、係数としてその個数を書くことにしました。
ここで封筒を使って問題を作ってもらい隣の人と交換して解き合うことをしました。
最後は箱のお名前をそれぞれｘとｙにして文字式につなげました。
代入箱を使って代入や代入法についてやりました。